Videnskabet: Kan alle lære matematik?

Matematik er et fag som mange – også akademikere – har et noget ambivalent forhold til. På den ene side ved vi godt at det er på færde i mange tekniske og naturvidenskabelige sammenhænge og at der i mange arbejds- og hverdags-situationer er brug for elementære matematikfærdigheder. På den anden side er matematik ikke rigtig noget folk forbinder med deres egen hverdag – mange husker det bare fra skolen, som noget svært.

Et andet modsætningsfyldt billede tegner sig når man spørger danske skolebørn. Groft sagt er de, i sammenligning med børn i andre rige lande, ganske glade for faget. De mener desuden at de er gode til det, men de klarer sig ikke særlig godt når man tester matematikfaglig viden og kunnen i internationale undersøgelser.

Og hvad så? Det er vel skolens problem? Jo, men skolens problemer med et fag der ikke alene er det næststørste i den almene uddannelse, men også er vitalt i mange videregående uddannelser og erhvervssammenhænge, er også hele samfundets og i særdeleshed universitetets problem. Hvad kan forskningen sige om matematikunder-visningens problemer og om mulige løsninger?

Sokrates revisited
Matematikkens didaktik – disciplinen der beskæftiger sig med dette spørgsmål – er af relativ ny dato (det første professorat herhjemme blev oprettet i 1960). Nogle af disciplinens grundlæggende problemstillinger har imidlertid optaget filosoffer siden oldtiden, og en lille historie derfra vil tjene som illustration af nogle mere generelle pointer.

Sokrates, som vi kender fra gymnasiets oldævl, var optaget af dyden og visdom-men som mål for det menneskelige liv. En dag falder han i snak med en thes-salisk rigmand Menon om dette tema. Hvordan lærer man at blive god og vis? Sokrates’ svar er at man overhovedet ikke kan lære noget. Dyden, visdommen og alt det andet man i det mindste på den tid fandt ønskværdigt, det er noget man har i sig, noget man finder frem fra sjælens gemmer.

For at overbevise Menon kalder Sokrates på en af hans slaver. Slaven har været i Menons hus fra barnsben. Menon er derfor fuldkommen klar over at han – da han jo er slave – ikke har modtaget nogen form for undervisning i den lærdom der er frie mænds adelsmærke. Til frie mænds lærdom og dannelse hørte naturligvis geometri; og det ved slaven altså ikke noget om. Ved at stille en lang række spørgsmål (nogle af dem temmelig ledende), får Sokrates ikke desto mindre slaven til at formulere følgende geometriske sætning:

Hvis man er givet et kvadrat, og bruger dets diagonal som side i et nyt kvadrat, så bliver det nye kvadrat dobbelt så stort som det oprindelige.

Det er jo ganske imponerende, og Menon er da også overbevist. Han antager endda den udvidede version af den platoniske tese: vi kan slet ikke lære noget, vi kan blot ‘erindre’ hvad vor udødelige sjæl allerede rummer.
Læsere, der ikke kender den geometriske sætning, kan ved at kigge på fig. 1 overbevise sig om at den er sand – det store kvadrat (skrå) er dobbelt så stort som det lille (grå) kvadrat. Man kan også prøve med egne eller andres børn som – hvis de går i skole her i landet – med stor sikkerhed aldrig har set noget lignende.

Fig. 1: Fordobling af kvadratet.

Faktisk rummer historien kimen til et af oldtidens store akademiske chok: tallene – som man dengang kendte dem – slår ikke til når vi skal måle siderne i det grå kvadrat og i det store kvadrat.

Hvis vi kalder disse to størrelser for henholdsvis A og B, har vi jo lige indset at BxB (arealet af det store kvadrat) er dobbelt så stor som AxA (arealet af det grå kvadrat), eller i mere formel notation:

B2 = 2A2.

Hvis A og B begge er endelige decimaltal (eller, mere generelt, brøker), kan det ved et ret enkelt algebraisk bevis indses at denne ligning er umulig (se fx Sløks Idéhistorie eller en matematikbog for gymnasiet). Sagt lidt simplere: ingen lineal uanset hvor fin en målestok den har, vil kunne måle begge længder A og B helt præcist!

Så med mindre vi har nogle mere
‘præcise’ tal end dem fx en lineal eller en computer kan håndtere, er der en form for afgrund mellem tallene og geometrien. Dette problem ‘løste’ man i oldtiden – og langt op mod vor tid – ved at holde læren om tallene (aritmetik) adskilt fra læren om formerne (geometri). I nyere tid er det interessant nok netop samspillet mellem de to der har bragt afgørende fremskridt, ikke alene i matematikken, men også i dens anvendelser fx i fysik.

Fra dyd til geometri
Læseren er måske lidt rundtosset efter denne udvidede lektion i oldtidskund-skab. Spørgsmålet om dyd og visdom ledte snart til en geometrisk sætning og videre til den ‘umulige’ ligning B2 = 2A2. Sokrates begrunder ikke selv sit valg af det geometriske eksempel der bruges til at illustrere påstanden om at vi slet intet kan lære. Men det virker da sandsynligt at han valgte et eksempel fra den tids matematik fordi slaven ikke alene var uvidende herom, men heller ikke kunne have nogen personlig mening om sagen som man kunne have tænkt sig det fx i forhold til et filosofisk eller teologisk spørgsmål.

Det store kvadrat er dobbelt så stort som det lille – uanset personlige præ-ferencer, og slaven indser det blot ved at blive udspurgt (om end, som nævnt, noget håndfast). Pointen er hjemme.
Men det bliver værre endnu. Sokrates’ argument hænger på at tegningen (fig. 1) giver mening for selv den helt uskolede. Hvilken mening? Kvadraterne der tales om, fx i den ‘geometriske sætning’, er jo ikke identiske med stregerne i sandet (eller på avispapiret).
Sætningen taler om nogle objekter (kvadrater og deres sider og diagonaler) der kunne fremstilles på mange andre måder, og dens gyldighed består når stregerne i sandet udviskes eller avisen bruges til at tænde op med.

Alligevel er det vanskeligt – måske umu-ligt – at forholde sig til objekterne og deres egenskaber uden at have en fremstilling eller repræsentation af dem. Risikoen for at forveksle objektet med dets repræsentation ligger da også lige for. Men hvis kvadratet var tegningen af det, var der jo ingen gyldighed (eller mening) i sætningen som kunne siges at være uafhængig af tegningen.

Kært barn har mange navne
Her er vi ved en af de fundamentale vanskeligheder ved matematik som volder stort set alle begyndere besvær: det der tales om, er på en gang afhængigt og uafhængigt af de materielle repræsentationer. På den ene side kan vi ikke ‘se’ eller begribe objekterne uden repræsentationer (tegninger, symboler etc.), og på den anden side er objekterne selv uaf-hængige af repræsentationerne i den forstand at de sidstnævnte kan variere ganske betydeligt.

Bertrand Russell skriver i sin selvbiografi at matematik er blot kunsten at sige det samme med forskellige ord. Men er det ikke bare forvirrende at bruge forskel-lige repræsentationer af det samme? Er det måske ligefrem et trick som ond-sindede matematikere har opfundet for at gøre deres fag svært tilgængeligt?

Der er mindst to ting at sige om den sag. For det første: hvis vi altid brugte nøjagtig den samme tegning af et kvadrat (så vidt vi nu kunne, i størrelse, farve, form etc.), ville dets uafhæng-ighed af repræsentationen jo ikke blot være ubegribelig. Den ville også forsvinde. Vi kunne udtale os om tegningen, ikke om abstrakte kvadrater eller om andre kvadratiske former i vore omgivelser. For det andet: det er forskellige repræsentationer der sætter os i stand til at se forskellige egenskaber ved objekterne og deres indbyrdes relationer. Når vi ‘siger’ sætningen om kvadraternes areal med den algebraiske ligning B2 = 2A2, har vi pludselig fået adgang til at bearbejde sammenhængen efter algebraens spilleregler – repræ-sentationen kan omformes, så vi fx indser at kvadraternes sider ikke kan måles med samme lineal.

Uden denne fleksibilitet bliver matematik-ken faktisk meget vanskeligere. Alligevel er det klart at mange læringsvanskelig-heder bunder i disse skift mellem repræ-sentationer. Pointen er at det er uom-gængeligt at overvinde dem hvis man vil lære faget og bruge det.

Matematik er for alle
Men hov! Lære faget, sagde vi – Sokrates, og i hvert fald hans elev Platon, mente jo at man ikke kunne lære noget, blot erindre sig det. Han henviser til datidens forestilling om en evig ide-verden som den genfødte sjæl har ad-gang til.

Lad os straks slå fast at denne religiøse forestilling ikke ligger til grund for nutidens matematikdidaktik. Vi taler faktisk om læring, og vi interesserer os for fremme af læring gennem under-visning. Alligevel er der en grundl-æggende præmis i det platoniske tankegods der er værd at lægge mærke til. Alle, slave som rigmand, har de grundlæggende forudsætninger for at få adgang til matematikkens verden.
Piaget, den svejtsiske pioner i kognitiv psykologi, studerede også udviklingen af blandt andet matematisk erkendelse. For Piaget beror denne på kognitive handlinger; men det ‘kognitive apparat’ har vi i princippet givet, og Piagets studier sigtede blandt andet på at påvise visse fællestræk i børns kognitive udvikling, fx i forhold til logisk ræsonnement. Den alt for udbredte forestilling om at det kun er få ‘genier’ som kan forstå matematikkens
‘mysterier’, afvises altså både af Platon og Piaget der ellers ikke er enige om ret meget.

Men læring kan og skal stimuleres. En righoldig metafor for matematiklæring er i den sammenhæng sproglæring. Sprog er, som matematik, baseret på ganske indviklede systemer af repræsenta-tioner. Også her gælder det at mening og repræsentation er gensidigt afhæng-ige – og også uafhængige, fx i den forstand at der findes vidt forskellige sprog der kan udtrykke mere eller mindre det samme. Alle normale børn kan lære sprog. Det sker ikke af sig selv, men anbragt i et passende miljø kan barnet faktisk lære et hvilket som helst sprog.

Læreren skaber miljøet
Også matematiklæring kræver et ‘miljø’, som i modsætning til sprogmiljøer sjæld-ent findes uden for skolesammenhænge. I matematikdidaktikken taler vi om di-daktiske miljøer og didaktiske situationer som lærerne bevidst iscenesætter med det formål at stimulere elevens matema-tiklæring. Det ‘didaktiske’ består i lærer-ens iscenesættelse af miljøet – intro-duktion af problemstilling, forklaring af begreber etc. Men målet for alt dette er den ‘adidaktiske’ situation hvor eleverne selv eller i fællesskab prøver kræfter med miljøet. Det er her elevens matematiske kunnen udvikles.

Den adidaktiske situation fungerer til dels som i fremmedsprogsundervisning hvor det er elevens egen udøvelse af sproget der er det centrale for udvik-lingen af sproglig kompetence. I mate-atikundervisningens praksis veksler de adidaktiske situationer med didaktiske hvor læreren opsamler og organiserer elevernes matematiske erfaringer, skaber nye miljøer etc. Lærerens rolle er altså først og fremmest at orkestrere dette samspil på basis af såvel matema-tikaglig som matematikdidaktisk viden.

Den matematikfaglige viden hos læreren er central, og det drejer sig ikke kun om videnskabsfaglig kompetence. Faktisk er kvaliteten af lærernes matematiske viden et hovedpunkt i en meget interes-sant og citeret analyse af forskellene mellem kinesisk og amerikansk matema-tikundervisning som matematikdidak-tikeren Liping Ma offentliggjorde i 1999.

Selv om de amerikanske læreres for-melle uddannelsesniveau i matematik er langt højere end deres kinesiske kol-legers, falder de uhjælpeligt igennem når det drejer sig om hvad Ma kalder dyb forståelse af fundamental mate-matik: de er dårligere til at håndtere selv meget elementære problemstillinger på skoleniveau, de kender for det meste kun en enkelt metode, deres forståelse af metoder er mest procedureorienteret, og de er ude af stand til at give forskel-lige forklaringer og anvendelser af disse metoder. Desuden er deres strukturelle forståelse (af sammenhængene mellem dele af faget og dets repræsentations-former) langt ringere end deres kine-siske kollegers.

Selv om amerikanerne i almindelighed har taget mange videregående matema-tikkurser – og det er jo ikke i sig selv skidt – har de alt i alt et betydeligt ringere greb om den faglighed de selv underviser i. En tilsvarende under-søgelse mangler for danske folkeskole-lærere. Der er dog gode grunde til at formode at man ville få resultater der ligner de amerikanske.

Inspiration fra Asien
Matematikdidaktisk lærerviden kan ikke anskues uafhængigt af den faglige ind-sigt. Det er til dels en teoretisk viden der knytter sig til den faglige. Den drejer sig både om specifikke læringsvanske-ligheder i forhold til bestemte begreber og metoder og om mere almene sider af det at lære matematik.

Matematikdidaktik indgår i rudimentære former i den danske uddannelse af folkeskolelærere og er oftest helt fra-værende i uddannelsen af gymnasie-lærere. I mange andre lande er det en fast og forskningsbaseret bestanddel af universiteternes læreruddannelser til alle niveauer.

Matematikdidaktisk lærerviden er også en professionsviden der knytter sig direkte til undervisningspraksis og erfaring hermed. Også her er der interessante og systematiske forskelle i den måde hvorpå udviklingen af viden organiseres i forskellige lande.

Mens amerikanske (og danske) matematiklærere typisk er ‘privat- praktiserende’ i den forstand at de kun i ringe omfang deler deres fagligt orienterede undervisningsmetoder og -erfaringer med kollegerne, er fx japanske og kinesiske lærere organiseret i matematiklærerteams der i fællesskab udvikler nye metoder, overværer og diskuterer hinandens undervisning etc.

Den japanske tradition for ‘lektions-
studium’ indebærer at matematiklærer-gruppen i fællesskab udvikler endog meget avancerede didaktiske miljøer hvor samspillet mellem didaktiske og adidaktiske situationer planlægges, afprøves og publiceres systematisk. Det mest bemærkelsesværdige ved den japanske matematiktime er således hyppige og nøje planlagte skift mellem didaktiske og adidaktiske situationer, og den bagvedliggende strukturering af det faglige indhold. Det sidste forhold afspejles fx også i udformningen af lærebøger.

Udviklingen af matematikdidaktisk professionalisme rækker således langt ud over den primære læreruddannelse. Og den er en forudsætning for at alle kan lære matematik – som vi endda kan gøre noget ved – både ved at lade os inspirere af andre og ved at iværksætte systematisk udvikling og forskning hos os selv.

Carl Winsløw er professor ved Center for Naturfagenes Didaktik, KU. Han beskæftiger sig blandt andet med internationale komparative studier af matematikundervisning, kompetencebegreber i relation til universitetsundervisning og med semiotiske aspekter af matematiklæring.